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Nel mwbacalcolo differenziale mwbqvettoriale, il mwbggradiente è un operatore che si applica ad una funzione a valori reali (un mwbwcampo scalare) e dà come risultato una mwcafunzione vettoriale. Il gradiente di una funzione è un mwcqvettore che ha come componenti le mwcgderivate parziali della funzione - vale solo se si utilizzano coordinate cartesiane ortonormali. In generale, il gradiente di una funzione mwcw f {\displaystyle f} , denotato con mwda ∇ ∇ f {\displaystyle \nabla f} (il simbolo mwdq ∇ ∇ {\displaystyle \nabla } si legge mwdgmwdwnabla), è definito in ciascun punto dalla seguente relazione: per un qualunque vettore mwea v → → {\displaystyle {\vec {v}}} , il mweqprodotto scalare mweg v → → ⋅ ⋅ ∇ ∇ f {\displaystyle {\vec {v}}\cdot \nabla f} dà il valore della mwewderivata direzionale di mwfa f {\displaystyle f} rispetto a mwfq v → → {\displaystyle {\vec {v}}} .

In mwfwfisica, il gradiente di una mwgagrandezza scalare si usa per descrivere come quest'ultima vari in funzione dei suoi parametri. Ad esempio, si parla di mwgqgradiente termico per esprimere la variazione della mwggtemperatura lungo una direzione, o di mwgwgradiente di pressione per esprimere la variazione della mwhapressione lungo una data direzione.

Il vettore gradiente di una funzione scalare punta secondo la direzione di massima crescita della funzione stessa, ed è quindi perpendicolare ai suoi mwhgInsiemi di livello.

• Definizione

• Varietà riemanniane

• Approssimazione lineare di una funzione

• Gradiente in diversi sistemi di coordinate

• Coordinate polari

• Coordinate sferiche

• Gradiente in coordinate cilindriche

• Coordinate curvilinee

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Solitamente si definisce l'operatore gradiente per funzioni scalari di tre variabili mwka f ≡ ≡ f ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle f\equiv f(x_{1},x_{2},x_{3})} , ma la definizione può essere estesa a funzioni in uno mwkqspazio euclideo di dimensione arbitraria. Il gradiente di mwkg f {\displaystyle f} è un mwkwcampo vettoriale che in ogni punto dello spazio consente di calcolare la mwladerivata direzionale di mwlq f {\displaystyle f} nella direzione di un generico mwlgvettore mwlw v {\displaystyle \mathbf {v} } tramite il mwmaprodotto scalare tra mwmq v {\displaystyle \mathbf {v} } e il gradiente della funzione nel punto.

Nel caso di un mwnwsistema di riferimento cartesiano mwoaortonormale il gradiente di mwoq f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} è il vettore che ha per componenti le mwogderivate parziali prime calcolate nel punto:

mwpq ∇ ∇ f = ∂ ∂ f ∂ ∂ x x ^ ^ + ∂ ∂ f ∂ ∂ y y ^ ^ + ∂ ∂ f ∂ ∂ z z ^ ^ {\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {\mathbf {z} }}}

dove mwpw x ^ ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} , mwqa y ^ ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}} e mwqq z ^ ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}} sono i mwqgversori lungo gli assi.

Dal momento che l'operatore gradiente associa a un punto dello spazio un vettore, il gradiente di una mwrafunzione differenziabile scalare mwrq f : : X → → R {\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} } su mwrg X ⊂ ⊂ R n {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}} è un mwrwcampo vettoriale che associa a ogni mwsa x ∈ ∈ X {\displaystyle x\in X} il vettore mwsq ∇ ∇ f ( x ) {\displaystyle \nabla f(x)} .

Un campo gradiente è mwswconservativo, cioè non si ha dissipazione di energia (il lavoro compiuto lungo una linea chiusa è sempre nullo). Infatti, se si calcola l'mwtaintegrale di linea lungo una qualunque mwtqcurva mwtg γ γ : : [ 0 , 1 ] → → R n {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}} che sia chiusa, cioè tale che mwtw γ γ ( 0 ) = γ γ ( 1 ) {\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)} si ottiene:

mwug ∫ ∫ γ γ ∇ ∇ f ⋅ ⋅ d s = ∫ ∫ 0 1 ∇ ∇ f ( γ γ ( t ) ) ⋅ ⋅ γ γ ′ ′ ( t ) d t = f ( γ γ ( 1 ) ) − − f ( γ γ ( 0 ) ) = 0. {\displaystyle \int _{\gamma }\nabla f\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {s} =\int _{0}^{1}\nabla f(\gamma (t))\cdot \gamma ^{\prime }(t)\operatorname {d} \!t=f(\gamma (1))-f(\gamma (0))=0.}

Inoltre, le linee di flusso di un campo gradiente associato a una funzione scalare mwva f {\displaystyle f} sono ovunque perpendicolari (o ortogonali) agli mwvqinsiemi di livello di mwvg f {\displaystyle f} , cioè alle mwvwipersuperfici date dall'equazione cartesiana mwwa f ( x ) = c {\displaystyle f(\mathbf {x} )=c} al variare di mwwq c ∈ ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } . Infatti, i mwwgvettori tangenti alle linee di flusso sono dati da mwww ∇ ∇ f {\displaystyle \nabla f} : si consideri allora un generico vettore mwxa v {\displaystyle v} tangente a una superficie di livello in un punto mwxq x ∈ ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} , e sia mwxg φ φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} una curva tale che mwxw φ φ ( 0 ) = x {\displaystyle \varphi (0)=x} , che giace interamente su una superficie di livello e tale che il vettore tangente alla curva in mwya x {\displaystyle x} è mwyq φ φ ′ ′ ( 0 ) = v {\displaystyle \varphi ^{\prime }(0)=v} . Dato che mwyg φ φ {\displaystyle \varphi } è su una superficie di livello allora mwyw f ( φ φ ( t ) ) = c {\displaystyle f(\varphi (t))=c} , cioè derivando si ha mwza ∇ ∇ f ( φ φ ( 0 ) ) ⋅ ⋅ φ φ ′ ′ ( 0 ) = ∇ ∇ f ( x ) ⋅ ⋅ v = 0 {\displaystyle \nabla f(\varphi (0))\cdot \varphi ^{\prime }(0)=\nabla f(x)\cdot v=0} .

I vettori mwzg v {\displaystyle v} e mwzw ∇ ∇ f ( x ) {\displaystyle \nabla f(x)} sono allora ortogonali e l'affermazione da verificare segue per l'arbitrarietà di mwaa x {\displaystyle x} e mwaq v {\displaystyle v} . La derivata direzionale di una funzione in un dato punto di mwag f {\displaystyle f} rappresenta poi il valore numerico dato dal limite del rapporto fra la variazione che essa subisce a partire dal punto per uno spostamento lungo la direzione e verso individuata dal versore rispetto a cui si deriva e lo spostamento medesimo al tendere a zero di quest'ultimo e risulta perciò positiva se mwaw f {\displaystyle f} è crescente lungo tale verso a partire da punto considerato, negativa o nulla in caso contrario; d'altra parte la derivata direzionale del gradiente, proprio per il suo legame col prodotto scalare, è massima (e positiva) lungo il versore che lo individua (proprio come il prodotto scalare di un vettore per un versore è massimo e positivo quando il versore ha la direzione e verso del vettore). Il gradiente è dunque normale alle superfici di livello e diretto nel verso dei livelli crescenti; esso risulta irrotazionale anche se non sempre vale il viceversa a meno che l'insieme su cui il campo è definito sia semplicemente connesso.

Per una mwbgfunzione liscia mwbw f {\displaystyle f} definita su una mwcavarietà riemanniana mwcq ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} il gradiente è il mwcgcampo vettoriale mwcw ∇ ∇ f {\displaystyle \nabla f} tale che per un qualsiasi campo vettoriale mwda X {\displaystyle X} si ha:

mwdw g x ( ( ∇ ∇ f ) x , X x ) = ( ∂ ∂ X f ) ( x ) , {\displaystyle g_{x}((\nabla f)_{x},X_{x})=(\partial _{X}f)(x),}

dove mweq g x ( ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ) {\displaystyle g_{x}(\cdot ,\cdot )} indica il mwegprodotto interno (definito dalla metrica mwew g {\displaystyle g} ) tra vettori tangenti la varietà nel punto mwfa x {\displaystyle x} , mentre mwfq ∂ ∂ X f {\displaystyle \partial _{X}f} è la funzione che a ogni punto mwfg x ∈ ∈ M {\displaystyle x\in M} associa la mwfwderivata direzionale di mwga f {\displaystyle f} nella direzione mwgq X {\displaystyle X} valutata in mwgg x {\displaystyle x} .

In modo equivalente, data una mwhacarta mwhq φ φ {\displaystyle \varphi } definita su un aperto in mwhg M {\displaystyle M} a valori in mwhw R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , la funzione mwia ∂ ∂ X f ( x ) {\displaystyle \partial _{X}f(x)} è data da:

mwiw ∑ ∑ j = 1 n X j ( φ φ ( x ) ) ∂ ∂ ∂ ∂ x j ( f ∘ ∘ φ φ − − 1 ) | φ φ ( x ) , {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X^{j}(\varphi (x)){\frac {\partial }{\partial x^{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Big |}_{\varphi (x)},}

dove mwjq X j {\displaystyle X^{j}} è la mwjg j {\displaystyle j} -esima componente di mwjw X {\displaystyle X} nella carta considerata. Quindi la forma locale del gradiente è:

mwkg ∇ ∇ f = g i k ∂ ∂ f ∂ ∂ x k ∂ ∂ ∂ ∂ x i . {\displaystyle \nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.}

Generalizzando il caso mwla M = R n {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}} , il gradiente di una funzione si relaziona con la sua mwlqderivata esterna nel seguente modo:

mwma ( ∂ ∂ X f ) ( x ) = d f x ( X x ) . {\displaystyle (\partial _{X}f)(x)=\mathrm {d} f_{x}(X_{x}).}

Si tratta di un caso particolare (quello in cui la metrica mwmg g {\displaystyle g} è quella "piatta" data dal prodotto interno) della seguente definizione. Il gradiente mwmw ∇ ∇ f {\displaystyle \nabla f} è il campo vettoriale associato alla 1-forma differenziale mwna d f {\displaystyle \mathrm {d} f} usando l'mwnqisomorfismo musicale:

mwoa ♯ ♯ = ♯ ♯ g : : T ∗ ∗ M → → T M , {\displaystyle \sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM,}

definito dalla metrica mwog g {\displaystyle g} .

Il gradiente di una funzione mwpg f : R n → → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } in ogni punto mwpw x 0 ∈ ∈ R n {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} caratterizza la miglior approssimazione lineare di mwqa f {\displaystyle f} nel punto:

mwqw f ( x ) ≈ ≈ f ( x 0 ) + ( ∇ ∇ f ) x 0 ⋅ ⋅ ( x − − x 0 ) {\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})}

per mwrq x {\displaystyle x} vicino a mwrg x 0 {\displaystyle x_{0}} , con mwrw ( ∇ ∇ f ) x 0 {\displaystyle (\nabla f)_{x_{0}}} il gradiente di mwsa f {\displaystyle f} calcolato in mwsq x 0 {\displaystyle x_{0}} . Tale espressione è equivalente all'espansione in mwsgserie di Taylor di una funzione di più variabili in mwsw x 0 {\displaystyle x_{0}} .

La migliore approssimazione lineare a una funzione mwtq f : : R n → → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } in mwtg x 0 {\displaystyle x_{0}} è una mwtwmappa lineare da mwua R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} in mwuq R {\displaystyle \mathbb {R} } detta mwugdifferenziale o mwuwderivata totale di mwva f {\displaystyle f} in mwvq x 0 {\displaystyle x_{0}} , e denotata con mwvg d f x ( v ) {\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(v)} . Il gradiente è legato al differenziale dalla relazione:

mwwq ( ∇ ∇ f ) x ⋅ ⋅ v = d f x ( v ) , ∀ ∀ v ∈ ∈ R n . {\displaystyle (\nabla f)_{x}\cdot v=\mathrm {d} f_{x}(v),\qquad \forall v\in \mathbb {R} ^{n}.}

La funzione mwww d f {\displaystyle \mathrm {d} f} che mappa mwxa x {\displaystyle x} in mwxq d f x {\displaystyle \mathrm {d} f_{x}} è anche detta differenziale o mwxgderivata esterna, e si tratta di una 1-mwxwforma differenziale.

In mwzw R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} si possono introdurre altri mw0asistemi di riferimento, come quello polare:

mw0w { x = x 0 + ρ ρ cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ y = y 0 + ρ ρ sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+\rho \cos \phi \\y=y_{0}+\rho \sin \phi \end{cases}}}

dove mw1q ρ ρ {\displaystyle \rho } rappresenta la coordinata radiale e mw1g ϕ ϕ {\displaystyle \phi } la coordinata angolare. Per calcolare il gradiente di una funzione mw1w f = f ( ρ ρ ; ϕ ϕ ) {\displaystyle f=f(\rho ;\phi )} è sufficiente eseguire la trasformazione:

mw2g ∇ ∇ f ( ρ ρ ; ϕ ϕ ) = ( ∂ ∂ f ∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂ x + ∂ ∂ f ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ x ) e x + ( ∂ ∂ f ∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂ y + ∂ ∂ f ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ y ) e y . {\displaystyle \nabla f(\rho ;\phi )=\left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{y}.}

Ricordando che:

mw3g { ρ ρ 2 = x 2 + y 2 ϕ ϕ = arctan ⁡ ⁡ ( y x ) {\displaystyle {\begin{cases}\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}\\\phi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\end{cases}}}

si ottengono le seguenti derivate:

mw4g ∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂ x = x x 2 + y 2 = cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ ; {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial x}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\cos \phi ;}

mw5a ∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂ y = y x 2 + y 2 = sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ ; {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial y}}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\sin \phi ;}

mw5g ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ x = − − y x 2 + y 2 = − − sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ ρ ρ ; {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {\sin \phi }{\rho }};}

mw6a ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ∂ y = x x 2 + y 2 = cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ ρ ρ . {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\cos \phi }{\rho }}.}

Scrivendo i vettori della base cartesiana come:

mw7a e x = cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ e ρ ρ − − sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ e ϕ ϕ {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=\cos \phi \,\mathbf {e} _{\rho }-\sin \phi \,\mathbf {e} _{\phi }}

mw7g e y = sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ e ρ ρ + cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ e ϕ ϕ {\displaystyle \mathbf {e} _{y}=\sin \phi \,\mathbf {e} _{\rho }+\cos \phi \,\mathbf {e} _{\phi }}

e sostituendo le espressioni trovate nell'equazione del gradiente si ha:

mw8g ∇ ∇ f ( ρ ρ ; ϕ ϕ ) = ( cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ ∂ ∂ f ∂ ∂ ρ ρ − − sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ ρ ρ ∂ ∂ f ∂ ∂ ϕ ϕ ) ( cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ e ρ ρ − − sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ e ϕ ϕ ) + + ( sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ ∂ ∂ f ∂ ∂ ρ ρ + cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ ρ ρ ∂ ∂ f ∂ ∂ ϕ ϕ ) ( sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ e ρ ρ + cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ e ϕ ϕ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f(\rho ;\phi )=&\left(\cos \phi {\frac {\partial f}{\partial \rho }}-{\frac {\sin \phi }{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)\left(\cos \phi \,\mathbf {e} _{\rho }-\sin \phi \,\mathbf {e} _{\phi }\right)+\\&+\left(\sin \phi {\frac {\partial f}{\partial \rho }}+{\frac {\cos \phi }{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)\left(\sin \phi \,\mathbf {e} _{\rho }+\cos \phi \,\mathbf {e} _{\phi }\right).\end{aligned}}}

Perciò, semplificando, il gradiente in coordinate polari diventa il vettore:

mw9g ∇ ∇ f ( ρ ρ , ϕ ϕ ) = ∂ ∂ f ∂ ∂ ρ ρ e ρ ρ + 1 ρ ρ ∂ ∂ f ∂ ∂ ϕ ϕ e ϕ ϕ . {\displaystyle \nabla f(\rho ,\phi )={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\,\mathbf {e} _{\phi }.}

In mw-q R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} si possono utilizzare le coordinate sferiche:

mwaqa { x = ρ ρ sin ⁡ ⁡ θ θ cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ y = ρ ρ sin ⁡ ⁡ θ θ sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ z = ρ ρ cos ⁡ ⁡ θ θ . {\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \sin \theta \cos \phi \\y=\rho \sin \theta \sin \phi \\z=\rho \cos \theta .\end{cases}}}

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate sferiche diventa il vettore:

mwaqq ∇ ∇ f ( ρ ρ , θ θ , ϕ ϕ ) = ∂ ∂ f ∂ ∂ ρ ρ e ρ ρ + 1 ρ ρ ∂ ∂ f ∂ ∂ θ θ e θ θ + 1 ρ ρ sin ⁡ ⁡ θ θ ∂ ∂ f ∂ ∂ ϕ ϕ e ϕ ϕ . {\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,\phi )={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\,\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{\rho \sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\,\mathbf {e} _{\phi }.}

In mwaqscoordinate cilindriche:

mwaq4 { x = ρ ρ cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ y = ρ ρ sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ z = z {\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \phi \\y=\rho \sin \phi \\z=z\end{cases}}}

seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente diventa il vettore:

mwari ∇ ∇ f ( ρ ρ , ϕ ϕ , z ) = ∂ ∂ f ∂ ∂ ρ ρ e ρ ρ + 1 ρ ρ ∂ ∂ f ∂ ∂ ϕ ϕ e ϕ ϕ + ∂ ∂ f ∂ ∂ z e z . {\displaystyle \nabla f(\rho ,\phi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\,\mathbf {e} _{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,\mathbf {e} _{z}.}

In mwarucoordinate curvilinee ortogonali, quando la metrica è data da mwary d s 2 = g j d x j 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{j}\mathrm {d} x_{j}^{2}} , il gradiente mwarc ∇ ∇ f {\displaystyle \nabla f} di mwarg f {\displaystyle f} in un punto è il vettore:

mwars ∇ ∇ f = 1 h 1 ∂ ∂ f ∂ ∂ x 1 e 1 + 1 h 2 ∂ ∂ f ∂ ∂ x 2 e 2 + 1 h 3 ∂ ∂ f ∂ ∂ x 3 e 3 , {\displaystyle \nabla f={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\mathbf {e} _{3},}

dove mwar0 h j = g j 2 {\displaystyle h_{j}={\sqrt {g_{j}^{2}}}} e con mwar4 e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} si indica il mwar8versore della direzione mwasa i {\displaystyle i} -esima (con tutti gli elementi nulli tranne l'mwase i {\displaystyle i} -esimo che vale 1).

Se il sistema è bidimensionale e le coordinate sono curvilinee qualunque mwasm ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} , il gradiente della funzione mwasq f ( u , v ) {\displaystyle f(u,v)} assume la seguente forma:

mwasc ∇ ∇ → → f = 1 E G − − F 2 [ E ( G ∂ ∂ f ∂ ∂ u − − F ∂ ∂ f ∂ ∂ v ) e ^ ^ u + G ( E ∂ ∂ f ∂ ∂ v − − F ∂ ∂ f ∂ ∂ u ) e ^ ^ v ] , {\displaystyle {\vec {\nabla }}f={\frac {1}{EG-F^{2}}}\left[{\sqrt {E}}\left(G{\frac {\partial f}{\partial u}}-F{\frac {\partial f}{\partial v}}\right){\hat {e}}_{u}+{\sqrt {G}}\left(E{\frac {\partial f}{\partial v}}-F{\frac {\partial f}{\partial u}}\right){\hat {e}}_{v}\right],}

dove mwask E {\displaystyle E} , mwaso F {\displaystyle F} e mwass G {\displaystyle G} sono le entrate del mwaswtensore metrico:

mwas8 ( g i k ) = ( E F F G ) . {\displaystyle (g_{ik})={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}.}

Infatti, poiché il gradiente può essere generalmente scomposto sui versori di base come mwate ∇ ∇ → → f = A e ^ ^ u + B e ^ ^ v {\displaystyle {\vec {\nabla }}f=A{\hat {e}}_{u}+B{\hat {e}}_{v}} (con mwati A {\displaystyle A} e mwatm B {\displaystyle B} quantità da determinare), il differenziale della funzione mwatq f {\displaystyle f} in tale sistema di coordinate diventa

mwatc d f = ∇ ∇ → → f ⋅ ⋅ d P → → = ( A e ^ ^ u + B e ^ ^ v ) ⋅ ⋅ ( E d u e ^ ^ u + G d v e ^ ^ v ) = ( A + B cos ⁡ ⁡ α α ) E d u + ( B + A cos ⁡ ⁡ α α ) G d v = ∂ ∂ f ∂ ∂ u d u + ∂ ∂ f ∂ ∂ v d v . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} f&={\vec {\nabla }}f\cdot \mathrm {d} {\vec {P}}\\&=(A{\hat {e}}_{u}+B{\hat {e}}_{v})\cdot ({\sqrt {E}}\,\mathrm {d} u\,{\hat {e}}_{u}+{\sqrt {G}}\,\mathrm {d} v\,{\hat {e}}_{v})\\&=(A+B\cos {\alpha }){\sqrt {E}}\,\mathrm {d} u+(B+A\cos {\alpha }){\sqrt {G}}\,\mathrm {d} v\\&={\frac {\partial f}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial f}{\partial v}}\mathrm {d} v.\end{aligned}}}

Risolvendo quindi il sistema

mwats { ∂ ∂ f ∂ ∂ u = ( A + B cos ⁡ ⁡ α α ) E ∂ ∂ f ∂ ∂ v = ( B + A cos ⁡ ⁡ α α ) G {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f}{\partial u}}=(A+B\cos {\alpha }){\sqrt {E}}\\{\dfrac {\partial f}{\partial v}}=(B+A\cos {\alpha }){\sqrt {G}}\end{cases}}}

e ricordando che mwat0 cos ⁡ ⁡ α α = F E G {\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {F}{\sqrt {EG}}}} (con mwat4 α α {\displaystyle \alpha } angolo tra le due direzioni), risulta dimostrato l'asserto iniziale.

Notazioni a cura del matematico e professore Fausto Segala.

• mwaumNicola Fusco, mwauqPaolo Marcellini, mwauuCarlo Sbordone, mwauyLezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203.

• mwauk(EN) W. Kaplan, The Gradient Field §3.3 in Advanced Calculus, 4ª ed., Reading, Addison-Wesley, 1991, pp. 183–185.

• mwauw(EN) P. M. Morse e H. Feshbach, The Gradient in Methods of Theoretical Physics Part I, New York, McGraw-Hill, 1953, pp. 31–32.

• mwau8(EN) H. M. Schey, Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3ª ed., New York, W. W. Norton, 1997.

• mwavmDerivata covariante

• mwavuDerivata direzionale, definibile anche tramite il gradiente della funzione

• mwavcDerivata parziale

• mwavkDivergenza

• mwavsFunzione differenziabile

• mwav0Gradiente ionico

• mwav8Matrice jacobiana

• mwaweLinea di minor resistenza

• mwawmNabla

• mwawuPotenziale vettore, definito a meno del gradiente di una funzione

• mwawcRotore (matematica)

• mwawkSubgradiente

• mwawsTeorema del gradiente

Altri progetti

• Wikizionario

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul gradiente

• citereftreccani-itGradiente, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

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